یکی دیگر گفت: "این ریاضیات زیبایی است. بهترین در نوع خود."
این بهترین در نوع خود است، نه فقط به این دلیل که یک قطعه بنیادی ریاضیات است - قطعه‌ای که یک مسئله حل نشده بزرگ را حل کرد و اکنون آماده است تا بر دهه‌ها تحقیق آینده تأثیر بگذارد - بلکه به این دلیل که شامل ایجاد ارتباطات عمیق و غیرمنتظره بود. اغلب، بزرگترین نتایج زمانی حاصل می‌شوند که ریاضیدانان راه‌هایی برای گفتگو بین ایده‌های به ظاهر نامرتبط پیدا می‌کنند و موانع بین حوزه‌های مختلف مطالعه را از بین می‌برند. اثبات حدس هندسی لانگلندز دقیقاً چنین نتیجه‌ای است.
این تنها پیشرفت بزرگ سال ۲۰۲۴ نبود. در واقع، چندین اثبات برجسته تنها در حوزه هندسه وجود داشت. برخی، مانند مورد لانگلندز، سرانجام حدس‌های چند دهه‌ای را کنار گذاشتند. برخی دیگر در عوض مثال‌های نقض شگفت‌انگیزی ارائه دادند.
اما چنین پیشرفت‌هایی معمولاً از ناکجاآباد نمی‌آیند. آنها با دهه‌ها تلاش، با انباشت گام‌های افزایشی ممکن می‌شوند. امسال، نتایج هیجان‌انگیز زیادی از این نوع نیز وجود داشت، به خصوص در نظریه اعداد. در میان آنها، پیشرفت‌هایی در مورد مسائل به شدت حل‌نشدنی مانند فرضیه ریمان و حدس abc وجود داشت.
اینگونه است که پیشرفت ریاضی، تا حد زیادی، کار می‌کند: یک ایده جدید اینجا، ایده دیگری آنجا، تا زمانی که آنچه زمانی کاملاً غیرممکن به نظر می‌رسید، کمی کمتر شود.
مسلماً بزرگترین نتیجه سال ۲۰۲۴ از برنامه لانگلندز ناشی می‌شود، یک چشم‌انداز بلندپروازانه ۵۰ ساله که در صورت تحقق، حوزه‌های بسیار متفاوتی از مطالعه ریاضی را به هم متصل خواهد کرد. هدف آن اساساً ترسیم مجدد نقشه ریاضیات است - تا قاره‌های جداگانه آن را در یک پانگه‌آی متحد گرد هم آورد.
اما اثبات نتایج واقعی در برنامه لانگلندز اغلب به طرز غیرقابل باوری دشوار است. خودِ گزاره‌ها فوق‌العاده پیچیده و فنی هستند، چه رسد به تکنیک‌های مورد نیاز برای اثبات آنها.
در دهه ۱۹۸۰، یک ریاضیدان نسخه‌ای هندسی از یکی از اجزای کلیدی برنامه - حدس هندسی لانگلندز - را مطرح کرد که شامل اشیاء ریاضی مبهمی به نام بافه‌ها می‌شود. این حدس به عنوان بخش مرکزی برنامه لانگلندز در نظر گرفته می‌شد، اما برای دهه‌ها، هیچ کس نمی‌توانست آن را حل کند - تا امسال. این اثبات موهبتی بزرگ برای بقیه برنامه است و ریاضیدانان هیجان‌زده‌اند که چند سال آینده را صرف بررسی پیامدهای آن کنند، که به اعتقاد آنها بسیار گسترده خواهد بود. همانطور که یک ریاضیدان گفته است، "این اثبات از تمام موانع بین موضوعات عبور خواهد کرد."
وقتی سیستم‌های هوش مصنوعی جدید مانند ChatGPT (نوعی «مدل زبان بزرگ») برای اولین بار معرفی شدند، توانایی‌های ریاضی آنها به نوعی سوژه میم‌ها بود، و نه به شیوه‌ای خوب. چت‌بات‌ها در جمع صحیح اعداد شکست خوردند، چه برسد به حل مسائل پیچیده‌تر کلامی. در مورد تولید اثبات‌های کامل - فراموشش کنید. وقتی صحبت از ریاضی شد، به نظر می‌رسید که هوش مصنوعی فقط به تقلا ادامه خواهد داد (یک برگه جدید باز می‌کند).
اما امسال، مدل‌های جدید گوگل دیپ‌مایند، هوش مصنوعی را به یک رقیب جدی در المپیاد بین‌المللی ریاضی، برترین رقابت ریاضی جهان برای دانش‌آموزان دبیرستانی، تبدیل کردند. در ژانویه، این شرکت AlphaGeometry (یک برگه جدید باز می‌کند)، مدلی را معرفی کرد که قادر است مسائل هندسه را تقریباً به خوبی یک مدال‌آور طلای انسانی اثبات کند. در عرض شش ماه، AlphaGeometry 2 می‌تواند به راحتی به مدال طلا دست یابد - و هنگامی که با مدل زبان بزرگ گوگل Gemini ادغام شد، می‌تواند مسائل عمومی‌تر (یک برگه جدید باز می‌کند) را به اندازه‌ای خوب اثبات کند که در آزمون کامل المپیاد مدال نقره کسب کند. دیپ‌مایند این مدل جدید را AlphaProof نامید.
آلفاپروف یک دستاورد عظیم بود. این پروژه، قدرت ریاضی رو به رشد هوش مصنوعی را به نمایش گذاشت و امیدی را برای چگونگی عملکرد این فناوری در آینده به عنوان یک «کمک خلبان» ریاضی در تحقیقات اولیه ایجاد کرد.
در ماه مارس، کوانتا در مورد چگونگی وقوع این امر گزارش داد. در سال 2022، ریاضیدانان از یادگیری ماشینی برای کشف الگوهای عجیب در معادلات مهم به نام منحنی‌های بیضوی استفاده کردند. این الگوها زیبا و شگفت‌انگیز بودند: اگر از زاویه درست به برخی از ویژگی‌های عددی منحنی‌های بیضوی نگاه می‌کردید، آنها شبیه به نحوه پرواز پرندگان بودند، پدیده‌ای به نام مورموراسیون. در چند سال گذشته، محققان در تلاش بوده‌اند تا این مورموراسیون‌های ریاضی را درک کنند. در انجام این کار، آنها آنها را در بسیاری از اشیاء مختلف در تعداد t یافته‌اند.
این نظریه منجر به کارها و بینش‌های جدید و مهمی، از جمله توسعه نوع بدیعی از تابع، می‌شود.
با پیچیده‌تر شدن روش‌های هوش مصنوعی، این داستان رایج‌تر خواهد شد. ما قبلاً آن را دیده‌ایم - در اینکه چگونه کامپیوترها به تدریج وارد دنیای ریاضیات شدند و چشم‌اندازهای جدیدی را برای ریاضیدانان جهت کاوش گشودند. اکنون ریاضیدانان در تلاشند تا با هوش مصنوعی پیش‌بینی کنند (یک تب جدید باز می‌کند) که این چگونه خواهد بود (یک تب جدید باز می‌کند).
برخلاف حدس هندسی لانگلندز، بیان مسئله انباشتگی کره ساده است: چگونه کره‌های یکسان را طوری بچینید که تا حد امکان حجم بیشتری را بدون همپوشانی پر کنند؟ در سه بعد، می‌توانید کره‌ها را در یک توده هرمی شکل بچینید، همانطور که پرتقال‌ها در یک فروشگاه مواد غذایی چیده می‌شوند. اما در ابعاد بالاتر چطور؟
هیچ کس تا سال ۲۰۱۶ پاسخ هیچ بُعدی بالاتر از سه را نمی‌دانست، تا اینکه ریاضیدان اوکراینی، مارینا ویازوفسکا، ثابت کرد که شبکه‌های خاصی برای انباشتگی کره‌ها در فضای هشت و ۲۴ بعدی بهینه هستند. در تمام ابعاد دیگر، پاسخ دقیق ناشناخته مانده است.
ریاضیدانان همچنین می‌خواهند یک راه‌حل کلی پیدا کنند - فرمولی که راهی برای متراکم کردن کره‌ها در ابعاد دلخواه ارائه می‌دهد، حتی اگر این تراکم کاملاً بهینه نباشد. در ماه آوریل، کوانتا از اولین پیشرفت قابل توجه در این نسخه از مسئله تراکم کره در ۷۵ سال گذشته خبر داد. نتیجه، کارایی تراکم‌های قبلی را بهبود بخشید، در حالی که از یک رویکرد جدید استفاده می‌کرد: ریاضیدانان به جای تراکم کره‌ها به روشی خوب و سازمان‌یافته، همانطور که ویازوفسکا انجام داده بود، از نظریه گراف برای تراکم کره‌ها به روشی بسیار نامنظم استفاده کردند.
این تنها نتیجه تراکم سال ۲۰۲۴ نبود. دو ریاضیدان - از جمله توماس هیلز، که در دهه ۱۹۹۰ روش بهینه تراکم کره‌ها در سه بعد را اثبات کرد - گزاره‌ای در مورد بدترین شکل‌های ممکن برای تراکم را نیز اثبات کردند.
اثبات حدس‌های قدیمی مهم است - اما رد آنها نیز مهم است. همانطور که یکی از ریاضیدانان به کوانتا گفت، "ما باید مشکوک باشیم، حتی در مورد چیزهایی که به طور شهودی به احتمال زیاد درست به نظر می‌رسند." این رویکردی بود که منجر به اثبات هندسی مهم دیگری شد: سه ریاضیدان مثال‌های نقضی برای حدس میلنور، مسئله‌ای ۵۰ ساله در مورد رابطه بین شکل کلی یک شیء و آنچه هنگام بزرگنمایی روی آن به نظر می‌رسد، یافتند. این کار که شامل توسعه نوع جدیدی از ساختار بود، نشان داد که جهان اشکال ممکن حتی عجیب‌تر از آن چیزی است که ریاضیدانان تصور می‌کردند - حتی اگر همیشه تصور می‌کردند که واقعاً بسیار عجیب است.
حل این مسائل هندسی مهم شبیه به ساختن بناهای تاریخی بلند در چشم‌انداز ریاضیات بود. اما همچنین بسیار مهم است که پایه‌های بهتری برای بناهای تاریخی آینده بنا کنیم. این دقیقاً همان چیزی است که در سال ۲۰۲۴ در نظریه اعداد اتفاق افتاد: ریاضیدانان پیشرفت‌های حیاتی، هرچند تدریجی، به سمت درک بهتر برخی از مهمترین سؤالات در این زمینه داشتند.
به عنوان مثال، دو ریاضیدان، تخمین جدیدی از تعداد استثنائات ممکن برای فرضیه ریمان، که مسلماً بزرگترین مسئله حل نشده در ریاضیات است، اثبات کردند. این کار نه تنها رکورد قبلی را که به مدت ۸۰ سال پابرجا بود، شکست، بلکه منجر به نتایج جدیدی در مورد توزیع اعداد اول شد.
به طور مشابه، سه دانشجوی فارغ‌التحصیل تخمین بهتری از بزرگترین اندازه‌ای که مجموعه‌ها می‌توانند قبل از اینکه ناگزیر شامل الگوهای اعداد با فاصله مساوی باشند، به آن برسند، اثبات کردند. این کار که به چگونگی ظهور اجتناب‌ناپذیر نظم از بی‌نظمی در ریاضیات می‌پردازد، اولین پیشرفت در "مسئله زمردی" در دهه‌های اخیر را نشان می‌دهد.
در همین حال، هکتور پاستن، ریاضیدان، اخیراً در درک ویژگی‌های دنباله ۲، ۵، ۱۰، ۱۷، ۲۶ و غیره - یعنی همه اعداد به شکل n2 + 1 - پیشرفت‌هایی داشته است. اثبات او به ریاضیدانان این امکان را داد تا رابطه پیچیده بین عملیات جمع و ضرب را بررسی کنند. همچنین به او اجازه داد تا تخمین‌های جدیدی از موارد خاصی از حدس abc، یکی دیگر از مهمترین مسائل ریاضی - و همچنین یکی از بحث‌برانگیزترین آنها را اثبات کند.
همه این سوالات نظریه اعداد هنوز راه درازی تا حل شدن دارند. اما با نزدیک‌تر شدن تدریجی، ریاضیدانان ابزارهای جدید و قدرتمندی را توسعه داده‌اند و دیدگاه‌های جدیدی را روشن می‌کنند. چه کسی می‌تواند بگوید در سال ۲۰۲۵ و پس از آن چه اتفاقی ممکن است بیفتد؟
